حل {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

اطرح 21 من -6 لتحصل على -27.

$$15x-27-14y=2$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$15x-14y=2+27$$

اجمع 2 مع 27 لتحصل على 29.

$$15x-14y=29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

إضافة 27x لكلا الجانبين.

$$6x-2y-23+27x=12$$

اجمع 6x مع 27x لتحصل على 33x.

$$33x-2y-23=12$$

إضافة 23 لكلا الجانبين.

$$33x-2y=12+23$$

اجمع 12 مع 23 لتحصل على 35.

$$33x-2y=35$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$15x-14y=29$$

أضف 14y إلى طرفي المعادلة.

$$15x=14y+29$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

اضرب \frac{1}{15} في 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{14y+29}{15} في المعادلة الأخرى، 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

اضرب 33 في \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

اجمع \frac{154y}{5} مع -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

اطرح \frac{319}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{144}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

اضرب \frac{14}{15} في -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

اجمع \frac{29}{15} مع -\frac{14}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

اطرح 21 من -6 لتحصل على -27.

$$15x-27-14y=2$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$15x-14y=2+27$$

اجمع 2 مع 27 لتحصل على 29.

$$15x-14y=29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

إضافة 27x لكلا الجانبين.

$$6x-2y-23+27x=12$$

اجمع 6x مع 27x لتحصل على 33x.

$$33x-2y-23=12$$

إضافة 23 لكلا الجانبين.

$$33x-2y=12+23$$

اجمع 12 مع 23 لتحصل على 35.

$$33x-2y=35$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

اطرح 21 من -6 لتحصل على -27.

$$15x-27-14y=2$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$15x-14y=2+27$$

اجمع 2 مع 27 لتحصل على 29.

$$15x-14y=29$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

إضافة 27x لكلا الجانبين.

$$6x-2y-23+27x=12$$

اجمع 6x مع 27x لتحصل على 33x.

$$33x-2y-23=12$$

إضافة 23 لكلا الجانبين.

$$33x-2y=12+23$$

اجمع 12 مع 23 لتحصل على 35.

$$33x-2y=35$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

لجعل 15x و33x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 33 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

تبسيط.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

اطرح 495x-30y=525 من 495x-462y=957 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

اجمع 495x مع -495x. حذف الحدين 495x و-495x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-462y+30y=957-525$$

اجمع -462y مع 30y.

$$-432y=957-525$$

اجمع 957 مع -525.

$$-432y=432$$

قسمة طرفي المعادلة على -432.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 33x-2y=35. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

اضرب -2 في -1.

$$33x+2=35$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$33x=33$$

قسمة طرفي المعادلة على 33.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$