حل {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=100$$

$$y=400$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$25x+35y=16500$$

اطرح 35y من طرفي المعادلة.

$$25x=-35y+16500$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

اضرب \frac{1}{25} في -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{5}+660 في المعادلة الأخرى، x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

اطرح 660 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=400$$

عوّض عن y بالقيمة 400 في x=-\frac{7}{5}y+660. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

اضرب -\frac{7}{5} في 400.

$$x=-560+660$$

اجمع 660 مع -560.

$$x=100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=100,y=400$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=100,y=400$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

لجعل 25x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

تبسيط.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

اطرح 25x+25y=12500 من 25x+35y=16500 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

اجمع 25x مع -25x. حذف الحدين 25x و-25x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$35y-25y=16500-12500$$

اجمع 35y مع -25y.

$$10y=16500-12500$$

اجمع 16500 مع -12500.

$$10y=4000$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=400$$

عوّض عن y بالقيمة 400 في x+y=500. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+400=500$$

اطرح 400 من طرفي المعادلة.

$$x=100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=100,y=400$$