حل {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$220x+100y+108=352$$

اطرح 108 من طرفي المعادلة.

$$220x+100y=244$$

اطرح 100y من طرفي المعادلة.

$$220x=-100y+244$$

قسمة طرفي المعادلة على 220.

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

اضرب \frac{1}{220} في -100y+244.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} في المعادلة الأخرى، 220x+600y+108=316.

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

اضرب 220 في -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}.

$$-100y+244+600y+108=316$$

اجمع -100y مع 600y.

$$500y+244+108=316$$

اجمع 244 مع 108.

$$500y+352=316$$

اطرح 352 من طرفي المعادلة.

$$500y=-36$$

قسمة طرفي المعادلة على 500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{125} في x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

اضرب -\frac{5}{11} في -\frac{9}{125} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

اجمع \frac{61}{55} مع \frac{9}{275} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{314}{275}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

اطرح 220x+600y+108=316 من 220x+100y+108=352 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

اجمع 220x مع -220x. حذف الحدين 220x و-220x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$100y-600y+108-108=352-316$$

اجمع 100y مع -600y.

$$-500y+108-108=352-316$$

اجمع 108 مع -108.

$$-500y=352-316$$

اجمع 352 مع -316.

$$-500y=36$$

قسمة طرفي المعادلة على -500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{125} في 220x+600y+108=316. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

اضرب 600 في -\frac{9}{125}.

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

اجمع -\frac{216}{5} مع 108.

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

اطرح \frac{324}{5} من طرفي المعادلة.

$$220x=\frac{1256}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 220.

$$x=\frac{314}{275}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$