حل {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$21x+7y=42$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$21x=-7y+42$$

قسمة طرفي المعادلة على 21.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

اضرب \frac{1}{21} في -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

اضرب -5 في -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

اجمع \frac{5y}{3} مع 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{20}{3}y=20$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{20}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{1}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

اضرب -\frac{1}{3} في 3.

$$x=-1+2$$

اجمع 2 مع -1.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

لجعل 21x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 21.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

تبسيط.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

اطرح -105x+105y=210 من -105x-35y=-210 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

اجمع -105x مع 105x. حذف الحدين -105x و105x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-35y-105y=-210-210$$

اجمع -35y مع -105y.

$$-140y=-210-210$$

اجمع -210 مع -210.

$$-140y=-420$$

قسمة طرفي المعادلة على -140.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في -5x+5y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+5\times 3=10$$

اضرب 5 في 3.

$$-5x+15=10$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-5x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$