حل {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=40$$

$$y=55$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 20 من الطرفين.

$$x+y=115-20$$

اطرح 20 من 115 لتحصل على 95.

$$x+y=95$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 8y من الطرفين.

$$11x-8y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=95$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+95$$

عوّض عن x بالقيمة -y+95 في المعادلة الأخرى، 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

اضرب 11 في -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

اجمع -11y مع -8y.

$$-19y+1045=0$$

اطرح 1045 من طرفي المعادلة.

$$-19y=-1045$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=55$$

عوّض عن y بالقيمة 55 في x=-y+95. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-55+95$$

اجمع 95 مع -55.

$$x=40$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=40,y=55$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 20 من الطرفين.

$$x+y=115-20$$

اطرح 20 من 115 لتحصل على 95.

$$x+y=95$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 8y من الطرفين.

$$11x-8y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=40,y=55$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 20 من الطرفين.

$$x+y=115-20$$

اطرح 20 من 115 لتحصل على 95.

$$x+y=95$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 8y من الطرفين.

$$11x-8y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

لجعل x و11x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 11 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

تبسيط.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

اطرح 11x-8y=0 من 11x+11y=1045 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

اجمع 11x مع -11x. حذف الحدين 11x و-11x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$11y+8y=1045$$

اجمع 11y مع 8y.

$$19y=1045$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=55$$

عوّض عن y بالقيمة 55 في 11x-8y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$11x-8\times 55=0$$

اضرب -8 في 55.

$$11x-440=0$$

أضف 440 إلى طرفي المعادلة.

$$11x=440$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=40$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=40,y=55$$