حل {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$2y-3x=-6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$2y-3x=-6$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$2y=3x-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x}{2}-3 في المعادلة الأخرى، 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

اضرب 4 في \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

اجمع 6x مع 5x.

$$11x-12=8$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$11x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{20}{11} في y=\frac{3}{2}x-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{20}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

اجمع -3 مع \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$2y-3x=-6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$2y-3x=-6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

لجعل 2y و4y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

تبسيط.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

اطرح 8y+10x=16 من 8y-12x=-24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

اجمع 8y مع -8y. حذف الحدين 8y و-8y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12x-10x=-24-16$$

اجمع -12x مع -10x.

$$-22x=-24-16$$

اجمع -24 مع -16.

$$-22x=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{20}{11} في 4y+5x=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

اضرب 5 في \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

اطرح \frac{100}{11} من طرفي المعادلة.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$