حل {l}{2x-y=6}{x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=6$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، x+y=-3.

$$\frac{1}{2}y+3+y=-3$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y+3=-3$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=-6$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=\frac{1}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+3$$

اضرب \frac{1}{2} في -4.

$$x=-2+3$$

اجمع 3 مع -2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x-y=6,2x+2y=2\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$2x-y=6,2x+2y=-6$$

اطرح 2x+2y=-6 من 2x-y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-y-2y=6+6$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-2y=6+6$$

اجمع -y مع -2y.

$$-3y=6+6$$

اجمع 6 مع 6.

$$-3y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x+y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-4=-3$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-4$$