حل {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=13$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+3y=30$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=5$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5+y}{2} في المعادلة الأخرى، -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

اضرب -1 في \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

أضف \frac{5}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=13$$

عوّض عن y بالقيمة 13 في x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{13}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=13$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+3y=30$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=13$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+3y=30$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

لجعل 2x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

تبسيط.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

اطرح -2x+6y=60 من -2x+y=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-6y=-5-60$$

اجمع y مع -6y.

$$-5y=-5-60$$

اجمع -5 مع -60.

$$-5y=-65$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=13$$

عوّض عن y بالقيمة 13 في -x+3y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+3\times 13=30$$

اضرب 3 في 13.

$$-x+39=30$$

اطرح 39 من طرفي المعادلة.

$$-x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=13$$