حل {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$2x-y-4x=-3$$

اجمع 2x مع -4x لتحصل على -2x.

$$-2x-y=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x-y=-3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+3}{2} في المعادلة الأخرى، x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

اجمع -\frac{y}{2} مع y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

اجمع \frac{3}{2} مع 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$2x-y-4x=-3$$

اجمع 2x مع -4x لتحصل على -2x.

$$-2x-y=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$2x-y-4x=-3$$

اجمع 2x مع -4x لتحصل على -2x.

$$-2x-y=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

لجعل -2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

تبسيط.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

اطرح -2x-2y=-1 من -2x-y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y+2y=-3+1$$

اجمع -y مع 2y.

$$y=-3+1$$

اجمع -3 مع 1.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x+y=\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$