حل {l}{2x-y=4}{3x-5y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

اضرب 3 في \frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -5y.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{18}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{18}{7} في x=\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

اضرب \frac{1}{2} في -\frac{18}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{9}{7}.

$$x=\frac{5}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

تبسيط.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

اطرح 6x-10y=30 من 6x-3y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+10y=12-30$$

اجمع -3y مع 10y.

$$7y=12-30$$

اجمع 12 مع -30.

$$7y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-\frac{18}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{18}{7} في 3x-5y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

اضرب -5 في -\frac{18}{7}.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

اطرح \frac{90}{7} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{15}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{5}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$