حل {l}{2x-y=3}{3x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3+y}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=2$$

اضرب 3 في \frac{3+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=2$$

اجمع \frac{3y}{2} مع 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=2$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في -\frac{5}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{22}+\frac{3}{2}$$

اجمع \frac{3}{2} مع -\frac{5}{22} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{14}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 3+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

تبسيط.

$$6x-3y=9,6x+8y=4$$

اطرح 6x+8y=4 من 6x-3y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-3y-8y=9-4$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-8y=9-4$$

اجمع -3y مع -8y.

$$-11y=9-4$$

اجمع 9 مع -4.

$$-11y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في 3x+4y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-\frac{5}{11}\right)=2$$

اضرب 4 في -\frac{5}{11}.

$$3x-\frac{20}{11}=2$$

أضف \frac{20}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{42}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{14}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$