حل {l}{2x-6y=-2}{5x-3y=31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = - 2 } \\ { 5 x - 3 y = 31 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-6y=-2$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=6y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 6y-2.

$$x=3y-1$$

عوّض عن x بالقيمة 3y-1 في المعادلة الأخرى، 5x-3y=31.

$$5\left(3y-1\right)-3y=31$$

اضرب 5 في 3y-1.

$$15y-5-3y=31$$

اجمع 15y مع -3y.

$$12y-5=31$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$12y=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=3y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times 3-1$$

اضرب 3 في 3.

$$x=9-1$$

اجمع -1 مع 9.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 31\\-\frac{5}{24}\left(-2\right)+\frac{1}{12}\times 31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\left(-6\right)y=5\left(-2\right),2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 31$$

تبسيط.

$$10x-30y=-10,10x-6y=62$$

اطرح 10x-6y=62 من 10x-30y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-30y+6y=-10-62$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30y+6y=-10-62$$

اجمع -30y مع 6y.

$$-24y=-10-62$$

اجمع -10 مع -62.

$$-24y=-72$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 5x-3y=31. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-3\times 3=31$$

اضرب -3 في 3.

$$5x-9=31$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=3$$