حل {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$7y+8x=-17$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+5 في المعادلة الأخرى، 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

اضرب 8 في \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

اجمع 12y مع 7y.

$$19y+40=-17$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$19y=-57$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{3}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

اضرب \frac{3}{2} في -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$7y+8x=-17$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$7y+8x=-17$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

لجعل 2x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

تبسيط.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

اطرح 16x+14y=-34 من 16x-24y=80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

اجمع 16x مع -16x. حذف الحدين 16x و-16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-24y-14y=80+34$$

اجمع -24y مع -14y.

$$-38y=80+34$$

اجمع 80 مع 34.

$$-38y=114$$

قسمة طرفي المعادلة على -38.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 8x+7y=-17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

اضرب 7 في -3.

$$8x-21=-17$$

أضف 21 إلى طرفي المعادلة.

$$8x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$