حل {l}{2x-3y=7}{2x+5y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 7 } \\ { 2 x + 5 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=7,2x+5y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=7$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+7.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 2x+5y=-1.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+5y=-1$$

اضرب 2 في \frac{3y+7}{2}.

$$3y+7+5y=-1$$

اجمع 3y مع 5y.

$$8y+7=-1$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$8y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في -1.

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=7,2x+5y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 7+\frac{3}{16}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=7,2x+5y=-1$$

اطرح 2x+5y=-1 من 2x-3y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-3y-5y=7+1$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-5y=7+1$$

اجمع -3y مع -5y.

$$-8y=7+1$$

اجمع 7 مع 1.

$$-8y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+5y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+5\left(-1\right)=-1$$

اضرب 5 في -1.

$$2x-5=-1$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$