حل {l}{2x-3y=5}{x+3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=5$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+5}{2} في المعادلة الأخرى، x+3y=7.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=7$$

اجمع \frac{3y}{2} مع 3y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{5}{2}=7$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{9}\times 5+\frac{2}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x-3y=5,2x+2\times 3y=2\times 7$$

تبسيط.

$$2x-3y=5,2x+6y=14$$

اطرح 2x+6y=14 من 2x-3y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-3y-6y=5-14$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-6y=5-14$$

اجمع -3y مع -6y.

$$-9y=5-14$$

اجمع 5 مع -14.

$$-9y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x+3y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3=7$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=1$$