حل {l}{2x-3y=4}{4x+y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 4 x + y = - 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=4$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 4x+y=-6.

$$4\left(\frac{3}{2}y+2\right)+y=-6$$

اضرب 4 في \frac{3y}{2}+2.

$$6y+8+y=-6$$

اجمع 6y مع y.

$$7y+8=-6$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$7y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{3}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

اضرب \frac{3}{2} في -2.

$$x=-3+2$$

اجمع 2 مع -3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 4+\frac{3}{14}\left(-6\right)\\-\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4,2\times 4x+2y=2\left(-6\right)$$

تبسيط.

$$8x-12y=16,8x+2y=-12$$

اطرح 8x+2y=-12 من 8x-12y=16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-12y-2y=16+12$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-2y=16+12$$

اجمع -12y مع -2y.

$$-14y=16+12$$

اجمع 16 مع 12.

$$-14y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 4x+y=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-2=-6$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$