حل {l}{2x-3y=-6}{-5x+2y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 6 } \\ { - 5 x + 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-6$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y-3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}-3 في المعادلة الأخرى، -5x+2y=15.

$$-5\left(\frac{3}{2}y-3\right)+2y=15$$

اضرب -5 في \frac{3y}{2}-3.

$$-\frac{15}{2}y+15+2y=15$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع 2y.

$$-\frac{11}{2}y+15=15$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{3}{2}y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-6\right)-\frac{3}{11}\times 15\\-\frac{5}{11}\left(-6\right)-\frac{2}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

لجعل 2x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-5\times 2x-5\left(-3\right)y=-5\left(-6\right),2\left(-5\right)x+2\times 2y=2\times 15$$

تبسيط.

$$-10x+15y=30,-10x+4y=30$$

اطرح -10x+4y=30 من -10x+15y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10x+10x+15y-4y=30-30$$

اجمع -10x مع 10x. حذف الحدين -10x و10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-4y=30-30$$

اجمع 15y مع -4y.

$$11y=30-30$$

اجمع 30 مع -30.

$$11y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في -5x+2y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=0$$