حل {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-5$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-5}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

اضرب 4 في \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+9y=-7$$

اجمع 6y مع 9y.

$$15y-10=-7$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$15y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{5} في x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{1}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

اجمع -\frac{5}{2} مع \frac{3}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

اطرح 8x+18y=-14 من 8x-12y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-18y=-20+14$$

اجمع -12y مع -18y.

$$-30y=-20+14$$

اجمع -20 مع 14.

$$-30y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{5} في 4x+9y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

اضرب 9 في \frac{1}{5}.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

اطرح \frac{9}{5} من طرفي المعادلة.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-\frac{11}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$