حل {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x-15=3y+6$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x-15-3y=6$$

إضافة 15 لكلا الجانبين.

$$2x-3y=6+15$$

اجمع 6 مع 15 لتحصل على 21.

$$2x-3y=21$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 7 في x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

إضافة 5y لكلا الجانبين.

$$7x-28+5y=-1$$

إضافة 28 لكلا الجانبين.

$$7x+5y=-1+28$$

اجمع -1 مع 28 لتحصل على 27.

$$7x+5y=27$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=21$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+21$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{21+3y}{2} في المعادلة الأخرى، 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

اضرب 7 في \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

اجمع \frac{21y}{2} مع 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

اطرح \frac{147}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{31}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

اجمع \frac{21}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x-15=3y+6$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x-15-3y=6$$

إضافة 15 لكلا الجانبين.

$$2x-3y=6+15$$

اجمع 6 مع 15 لتحصل على 21.

$$2x-3y=21$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 7 في x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

إضافة 5y لكلا الجانبين.

$$7x-28+5y=-1$$

إضافة 28 لكلا الجانبين.

$$7x+5y=-1+28$$

اجمع -1 مع 28 لتحصل على 27.

$$7x+5y=27$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+2.

$$2x-15=3y+6$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x-15-3y=6$$

إضافة 15 لكلا الجانبين.

$$2x-3y=6+15$$

اجمع 6 مع 15 لتحصل على 21.

$$2x-3y=21$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 7 في x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

إضافة 5y لكلا الجانبين.

$$7x-28+5y=-1$$

إضافة 28 لكلا الجانبين.

$$7x+5y=-1+28$$

اجمع -1 مع 28 لتحصل على 27.

$$7x+5y=27$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

لجعل 2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

تبسيط.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

اطرح 14x+10y=54 من 14x-21y=147 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-21y-10y=147-54$$

اجمع -21y مع -10y.

$$-31y=147-54$$

اجمع 147 مع -54.

$$-31y=93$$

قسمة طرفي المعادلة على -31.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 7x+5y=27. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

اضرب 5 في -3.

$$7x-15=27$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=42$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$