حل {l}{2x+y=60}{x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 60 } \\ { x = y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=60,x-y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=60$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+60$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+60\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+30 في المعادلة الأخرى، x-y=0.

$$-\frac{1}{2}y+30-y=0$$

اجمع -\frac{y}{2} مع -y.

$$-\frac{3}{2}y+30=0$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=-30$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x=-\frac{1}{2}y+30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 20+30$$

اضرب -\frac{1}{2} في 20.

$$x=-10+30$$

اجمع 30 مع -10.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=20$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=60,x-y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60\\\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=20$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=60,x-y=0$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+y=60,2x+2\left(-1\right)y=0$$

تبسيط.

$$2x+y=60,2x-2y=0$$

اطرح 2x-2y=0 من 2x+y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y+2y=60$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+2y=60$$

اجمع y مع 2y.

$$3y=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x-y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-20=0$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=20$$