حل {l}{2x+y=4}{x+1/4y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x + \frac { 1 } { 4 } y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-10$$

$$y=24$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، x+\frac{1}{4}y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+2+\frac{1}{4}y=-4$$

اجمع -\frac{y}{2} مع \frac{y}{4}.

$$-\frac{1}{4}y+2=-4$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{4}y=-6$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=24$$

عوّض عن y بالقيمة 24 في x=-\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 24+2$$

اضرب -\frac{1}{2} في 24.

$$x=-12+2$$

اجمع 2 مع -12.

$$x=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-10,y=24$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{2\times \frac{1}{4}-1}&-\frac{1}{2\times \frac{1}{4}-1}\\-\frac{1}{2\times \frac{1}{4}-1}&\frac{2}{2\times \frac{1}{4}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+2\left(-4\right)\\2\times 4-4\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\24\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-10,y=24$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+y=4,2x+2\times \frac{1}{4}y=2\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$2x+y=4,2x+\frac{1}{2}y=-8$$

اطرح 2x+\frac{1}{2}y=-8 من 2x+y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y-\frac{1}{2}y=4+8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-\frac{1}{2}y=4+8$$

اجمع y مع -\frac{y}{2}.

$$\frac{1}{2}y=4+8$$

اجمع 4 مع 8.

$$\frac{1}{2}y=12$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=24$$

عوّض عن y بالقيمة 24 في x+\frac{1}{4}y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\frac{1}{4}\times 24=-4$$

اضرب \frac{1}{4} في 24.

$$x+6=-4$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$x=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-10,y=24$$