حل {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{4}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=-6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}-3 في المعادلة الأخرى، -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

اضرب -\frac{1}{4} في -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

اجمع \frac{y}{8} مع y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

اطرح \frac{3}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1-3$$

اجمع -3 مع -1.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{4}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{4}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

اطرح -\frac{1}{4}x+y=3 من 2x+y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

اجمع 2x مع \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

اجمع -6 مع -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-4$$

عوّض عن x بالقيمة -4 في -\frac{1}{4}x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

اضرب -\frac{1}{4} في -4.

$$1+y=3$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=2$$