حل {l}{2x+y=-3m+2}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 3 m + 2 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2m$$

$$y=m+2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=2-3m$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+2-3m$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2-3m\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-3m+2.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}-\frac{3m}{2}+1 في المعادلة الأخرى، x+2y=4.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1+2y=4$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 2y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{3m}{2}+1=4$$

اطرح -\frac{3m}{2}+1 من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3m}{2}+3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=m+2$$

عوّض عن y بالقيمة 2+m في x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)-\frac{3m}{2}+1$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2+m.

$$x=-\frac{m}{2}-1-\frac{3m}{2}+1$$

اجمع -\frac{3m}{2}+1 مع -1-\frac{m}{2}.

$$x=-2m$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2m,y=m+2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(2-3m\right)-\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}\left(2-3m\right)+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2m\\m+2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2m,y=m+2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+y=2-3m,2x+2\times 2y=2\times 4$$

تبسيط.

$$2x+y=2-3m,2x+4y=8$$

اطرح 2x+4y=8 من 2x+y=2-3m عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y-4y=2-3m-8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-4y=2-3m-8$$

اجمع y مع -4y.

$$-3y=2-3m-8$$

اجمع -3m+2 مع -8.

$$-3y=-3m-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=m+2$$

عوّض عن y بالقيمة 2+m في x+2y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\left(m+2\right)=4$$

اضرب 2 في 2+m.

$$x+2m+4=4$$

اطرح 4+2m من طرفي المعادلة.

$$x=-2m$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2m,y=m+2$$