حل {l}{2x+y=-1}{3x+y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=-1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-1.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-1}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=0$$

اضرب 3 في \frac{-y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}+y=0$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع y.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=0$$

أضف \frac{3}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -3.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

اطرح 3x+y=0 من 2x+y=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-3x+y-y=-1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-3x=-1$$

اجمع 2x مع -3x.

$$-x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في 3x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3+y=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$