حل {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+8y=16$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$2x=-8y+16$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -8y+16.

$$x=-4y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+8 في المعادلة الأخرى، -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

اضرب -1 في -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

اجمع 4y مع 2y.

$$6y-8+11=0$$

اجمع -8 مع 11.

$$6y+3=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$6y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في x=-4y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

اضرب -4 في -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

اجمع 8 مع 2.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

لجعل 2x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

تبسيط.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

اطرح -2x+4y+22=0 من -2x-8y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-4y-22=-16$$

اجمع -8y مع -4y.

$$-12y-22=-16$$

أضف 22 إلى طرفي المعادلة.

$$-12y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في -x+2y+11=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

اضرب 2 في -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

اجمع -1 مع 11.

$$-x+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-x=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$