حل {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+7y=15$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$2x=-7y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+15}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

اضرب 3 في \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع -5y.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

اطرح \frac{45}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{31}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{1}{31}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{31} في x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

اضرب -\frac{7}{2} في -\frac{1}{31} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

اجمع \frac{15}{2} مع \frac{7}{62} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{236}{31}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

تبسيط.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

اطرح 6x-10y=46 من 6x+21y=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y+10y=45-46$$

اجمع 21y مع 10y.

$$31y=45-46$$

اجمع 45 مع -46.

$$31y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 31.

$$y=-\frac{1}{31}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{31} في 3x-5y=23. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

اضرب -5 في -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

اطرح \frac{5}{31} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{708}{31}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{236}{31}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$