حل {l}{2x+5y=7}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

$$y=\frac{9}{19}\approx 0.473684211$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=7$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+7.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=6.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)-2y=6$$

اضرب 3 في \frac{-5y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{21}{2}-2y=6$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع -2y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{21}{2}=6$$

اطرح \frac{21}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{9}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{19} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{9}{19}+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{9}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{45}{38}+\frac{7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{45}{38} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{44}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 7+\frac{5}{19}\times 6\\\frac{3}{19}\times 7-\frac{2}{19}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{19}\\\frac{9}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 7,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6$$

تبسيط.

$$6x+15y=21,6x-4y=12$$

اطرح 6x-4y=12 من 6x+15y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+15y+4y=21-12$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+4y=21-12$$

اجمع 15y مع 4y.

$$19y=21-12$$

اجمع 21 مع -12.

$$19y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=\frac{9}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{19} في 3x-2y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times \frac{9}{19}=6$$

اضرب -2 في \frac{9}{19}.

$$3x-\frac{18}{19}=6$$

أضف \frac{18}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{132}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{44}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$