حل {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=13$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+13}{2} في المعادلة الأخرى، x+7y=-17.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع 7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

اطرح \frac{13}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{47}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{47}{9} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في -\frac{47}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع \frac{235}{18} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{176}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

تبسيط.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

اطرح 2x+14y=-34 من 2x+5y=13 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-14y=13+34$$

اجمع 5y مع -14y.

$$-9y=13+34$$

اجمع 13 مع 34.

$$-9y=47$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{47}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{47}{9} في x+7y=-17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

اضرب 7 في -\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

أضف \frac{329}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{176}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$