حل {l}{2x+5y=1}{-2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+1.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+1}{2} في المعادلة الأخرى، -2x+y=5.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

اضرب -2 في \frac{-5y+1}{2}.

$$5y-1+y=5$$

اجمع 5y مع y.

$$6y-1=5$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$6y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

لجعل 2x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

تبسيط.

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

اطرح -4x+2y=10 من -4x-10y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-2y=-2-10$$

اجمع -10y مع -2y.

$$-12y=-2-10$$

اجمع -2 مع -10.

$$-12y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -2x+y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=1$$