حل {l}{2x+5y+1=0}{3x-2y-8=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y + 1 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y+1=0,3x-2y-8=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y+1=0$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$2x+5y=-1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y-1.

$$x=-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y-1}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-2y-8=0.

$$3\left(-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y-8=0$$

اضرب 3 في \frac{-5y-1}{2}.

$$-\frac{15}{2}y-\frac{3}{2}-2y-8=0$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع -2y.

$$-\frac{19}{2}y-\frac{3}{2}-8=0$$

اجمع -\frac{3}{2} مع -8.

$$-\frac{19}{2}y-\frac{19}{2}=0$$

أضف \frac{19}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{2}y=\frac{19}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في -1.

$$x=\frac{5-1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y+1=0,3x-2y-8=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{5}{19}\times 8\\\frac{3}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y+1=0,3x-2y-8=0$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 5y+3=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-8\right)=0$$

تبسيط.

$$6x+15y+3=0,6x-4y-16=0$$

اطرح 6x-4y-16=0 من 6x+15y+3=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+15y+4y+3+16=0$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+4y+3+16=0$$

اجمع 15y مع 4y.

$$19y+3+16=0$$

اجمع 3 مع 16.

$$19y+19=0$$

اطرح 19 من طرفي المعادلة.

$$19y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 3x-2y-8=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\left(-1\right)-8=0$$

اضرب -2 في -1.

$$3x+2-8=0$$

اجمع 2 مع -8.

$$3x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$