حل {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=2060$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+2060$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+1030 في المعادلة الأخرى، 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

اضرب 5 في -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

اجمع -10y مع 7y.

$$-3y+5150=1640$$

اطرح 5150 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-3510$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=1170$$

عوّض عن y بالقيمة 1170 في x=-2y+1030. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 1170+1030$$

اضرب -2 في 1170.

$$x=-2340+1030$$

اجمع 1030 مع -2340.

$$x=-1310$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1310,y=1170$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1310,y=1170$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

تبسيط.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

اطرح 10x+14y=3280 من 10x+20y=10300 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-14y=10300-3280$$

اجمع 20y مع -14y.

$$6y=10300-3280$$

اجمع 10300 مع -3280.

$$6y=7020$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=1170$$

عوّض عن y بالقيمة 1170 في 5x+7y=1640. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+7\times 1170=1640$$

اضرب 7 في 1170.

$$5x+8190=1640$$

اطرح 8190 من طرفي المعادلة.

$$5x=-6550$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-1310$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1310,y=1170$$