حل {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=12$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+12.

$$x=-2y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+6 في المعادلة الأخرى، 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

اضرب 5 في -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

اجمع -10y مع -8y.

$$-18y+30=16$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$-18y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{9} في x=-2y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

اضرب -2 في \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

تبسيط.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

اطرح 10x-16y=32 من 10x+20y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y+16y=60-32$$

اجمع 20y مع 16y.

$$36y=60-32$$

اجمع 60 مع -32.

$$36y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{9} في 5x-8y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

اضرب -8 في \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

أضف \frac{56}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{200}{9}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$