حل {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

اضرب 2 في -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

اجمع -4y مع -6y.

$$-10y+1=-4$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-10y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=-2y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

اضرب -2 في \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

اطرح 2x-6y=-4 من 2x+4y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+6y=1+4$$

اجمع 4y مع 6y.

$$10y=1+4$$

اجمع 1 مع 4.

$$10y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في 2x-6y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

اضرب -6 في \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$