حل {l}{2x+3y-4=0}{x+3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 4 = 0 } \\ { x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y-4=0$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$2x+3y=4$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، x+3y=5.

$$-\frac{3}{2}y+2+3y=5$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 3y.

$$\frac{3}{2}y+2=5$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+2$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x=-3+2$$

اجمع 2 مع -3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-5\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y-4=0,x+3y=5$$

اطرح x+3y=5 من 2x+3y-4=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-x+3y-3y-4=-5$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-x-4=-5$$

اجمع 2x مع -x.

$$x-4=-5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في x+3y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-1+3y=5$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$