حل {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=120$$

$$y=180$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=780$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+780$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+780.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+390 في المعادلة الأخرى، 5x+4y=1320.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

اضرب 5 في -\frac{3y}{2}+390.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع 4y.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

اطرح 1950 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=180$$

عوّض عن y بالقيمة 180 في x=-\frac{3}{2}y+390. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

اضرب -\frac{3}{2} في 180.

$$x=-270+390$$

اجمع 390 مع -270.

$$x=120$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=120,y=180$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=120,y=180$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

تبسيط.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

اطرح 10x+8y=2640 من 10x+15y=3900 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-8y=3900-2640$$

اجمع 15y مع -8y.

$$7y=3900-2640$$

اجمع 3900 مع -2640.

$$7y=1260$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=180$$

عوّض عن y بالقيمة 180 في 5x+4y=1320. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+4\times 180=1320$$

اضرب 4 في 180.

$$5x+720=1320$$

اطرح 720 من طرفي المعادلة.

$$5x=600$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=120$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=120,y=180$$