حل {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1,2$$

$$y=1,8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=7,8$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+7,8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7,8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+7,8.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} في المعادلة الأخرى، 5x+4y=13,2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13,2$$

اضرب 5 في -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13,2$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع 4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13,2$$

اطرح \frac{39}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{9}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

اجمع \frac{39}{10} مع -\frac{27}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7,8+\frac{3}{7}\times 13,2\\\frac{5}{7}\times 7,8-\frac{2}{7}\times 13,2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,8;2\times 5x+2\times 4y=2\times 13,2$$

تبسيط.

$$10x+15y=39;10x+8y=26,4$$

اطرح 10x+8y=26,4 من 10x+15y=39 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+15y-8y=39-26,4$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-8y=39-26,4$$

اجمع 15y مع -8y.

$$7y=39-26,4$$

اجمع 39 مع -26,4.

$$7y=12,6$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في 5x+4y=13,2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13,2$$

اضرب 4 في \frac{9}{5}.

$$5x+\frac{36}{5}=13,2$$

اطرح \frac{36}{5} من طرفي المعادلة.

$$5x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$