حل {l}{2x+3y=6}{3x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 3x-y=-2.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-y=-2$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{2}+3.

$$-\frac{9}{2}y+9-y=-2$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع -y.

$$-\frac{11}{2}y+9=-2$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=-11$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x=-3+3$$

اجمع 3 مع -3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{11}\left(-2\right)\\\frac{3}{11}\times 6-\frac{2}{11}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$6x+9y=18,6x-2y=-4$$

اطرح 6x-2y=-4 من 6x+9y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y+2y=18+4$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+2y=18+4$$

اجمع 9y مع 2y.

$$11y=18+4$$

اجمع 18 مع 4.

$$11y=22$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 3x-y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2=-2$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$