حل {l}{2x+3y=6}{-4x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، -4x+3y=12.

$$-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12$$

اضرب -4 في -\frac{3y}{2}+3.

$$6y-12+3y=12$$

اجمع 6y مع 3y.

$$9y-12=12$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=\frac{8}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{3} في x=-\frac{3}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{8}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-4+3$$

اجمع 3 مع -4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

اطرح -4x+3y=12 من 2x+3y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x+4x+3y-3y=6-12$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+4x=6-12$$

اجمع 2x مع 4x.

$$6x=6-12$$

اجمع 6 مع -12.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في -4x+3y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-4\left(-1\right)+3y=12$$

اضرب -4 في -1.

$$4+3y=12$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$3y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$