حل {l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=12$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=38$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+38$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+38.

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+19 في المعادلة الأخرى، -3x+2y=21.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

اضرب -3 في -\frac{3y}{2}+19.

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

اجمع \frac{9y}{2} مع 2y.

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

أضف 57 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{2}y=78$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=12$$

عوّض عن y بالقيمة 12 في x=-\frac{3}{2}y+19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

اضرب -\frac{3}{2} في 12.

$$x=-18+19$$

اجمع 19 مع -18.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=12$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=12$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

لجعل 2x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

تبسيط.

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

اطرح -6x+4y=42 من -6x-9y=-114 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

اجمع -6x مع 6x. حذف الحدين -6x و6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-4y=-114-42$$

اجمع -9y مع -4y.

$$-13y=-114-42$$

اجمع -114 مع -42.

$$-13y=-156$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=12$$

عوّض عن y بالقيمة 12 في -3x+2y=21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\times 12=21$$

اضرب 2 في 12.

$$-3x+24=21$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=12$$