حل {l}{2x+3y=15}{x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{39}{7} = 5\frac{4}{7} \approx 5.571428571$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=15$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+15.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+15}{2} في المعادلة الأخرى، x-2y=3.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}-2y=3$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع -2y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}=3$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{9}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{7} في x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{7}+\frac{15}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{9}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27}{14}+\frac{15}{2}$$

اجمع \frac{15}{2} مع -\frac{27}{14} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{39}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 3\\\frac{1}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+3y=15,2x+2\left(-2\right)y=2\times 3$$

تبسيط.

$$2x+3y=15,2x-4y=6$$

اطرح 2x-4y=6 من 2x+3y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+3y+4y=15-6$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+4y=15-6$$

اجمع 3y مع 4y.

$$7y=15-6$$

اجمع 15 مع -6.

$$7y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{9}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{7} في x-2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times \frac{9}{7}=3$$

اضرب -2 في \frac{9}{7}.

$$x-\frac{18}{7}=3$$

أضف \frac{18}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{39}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$