حل {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-65$$

$$y=70$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+2y=10$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$2x=-2y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -2y+10.

$$x=-y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -y+5 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

اجمع -\frac{y}{2} مع \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=70$$

عوّض عن y بالقيمة 70 في x=-y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-70+5$$

اجمع 5 مع -70.

$$x=-65$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-65,y=70$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-65,y=70$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

لجعل 2x و\frac{x}{2} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

تبسيط.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

اطرح x+\frac{3}{2}y=40 من x+y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

اجمع y مع -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

اجمع 5 مع -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=70$$

عوّض عن y بالقيمة 70 في \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

اضرب \frac{3}{4} في 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

اطرح \frac{105}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=-65$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-65,y=70$$