حل {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+14y=-28$$

اطرح 14y من طرفي المعادلة.

$$2x=-14y-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -14y-28.

$$x=-7y-14$$

عوّض عن x بالقيمة -7y-14 في المعادلة الأخرى، -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

اضرب -4 في -7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

اجمع 28y مع -14y.

$$14y+56=28$$

اطرح 56 من طرفي المعادلة.

$$14y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-7y-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

اضرب -7 في -2.

$$x=14-14$$

اجمع -14 مع 14.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

لجعل 2x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

تبسيط.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

اطرح -8x-28y=56 من -8x-56y=112 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-56y+28y=112-56$$

اجمع -56y مع 28y.

$$-28y=112-56$$

اجمع 112 مع -56.

$$-28y=56$$

قسمة طرفي المعادلة على -28.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -4x-14y=28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

اضرب -14 في -2.

$$-4x+28=28$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-4x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$