حل {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل p، x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة p بعزل p على يسار علامة التساوي.

$$2p+3x=10$$

اطرح 3x من طرفي المعادلة.

$$2p=-3x+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

عوّض عن p بالقيمة -\frac{3x}{2}+5 في المعادلة الأخرى، p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

اجمع -\frac{3x}{2} مع -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

اجمع 5 مع 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{14}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{14}{5} في p=-\frac{3}{2}x+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{14}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة p وx.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

لجعل 2p وp متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

تبسيط.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

اطرح 2p-2x+4=0 من 2p+3x=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

اجمع 2p مع -2p. حذف الحدين 2p و-2p، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x+2x-4=10$$

اجمع 3x مع 2x.

$$5x-4=10$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{14}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{14}{5} في p-x+2=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

اجمع -\frac{14}{5} مع 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

أضف \frac{4}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$p=\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$