حل {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل p، m

$$p=-2$$

$$m=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة p بعزل p على يسار علامة التساوي.

$$2p+3m=8$$

اطرح 3m من طرفي المعادلة.

$$2p=-3m+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

عوّض عن p بالقيمة -\frac{3m}{2}+4 في المعادلة الأخرى، p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

اجمع -\frac{3m}{2} مع 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}m=2$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$m=4$$

عوّض عن m بالقيمة 4 في p=-\frac{3}{2}m+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

اضرب -\frac{3}{2} في 4.

$$p=-6+4$$

اجمع 4 مع -6.

$$p=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=-2,m=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة p وm.

$$p=-2,m=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

لجعل 2p وp متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

تبسيط.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

اطرح 2p+4m=12 من 2p+3m=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

اجمع 2p مع -2p. حذف الحدين 2p و-2p، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3m-4m=8-12$$

اجمع 3m مع -4m.

$$-m=8-12$$

اجمع 8 مع -12.

$$-m=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$m=4$$

عوّض عن m بالقيمة 4 في p+2m=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p+2\times 4=6$$

اضرب 2 في 4.

$$p+8=6$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$p=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=-2,m=4$$