حل {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4n من الطرفين.

$$-m+5-4n=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-m-4n=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m-3n=130$$

أضف 3n إلى طرفي المعادلة.

$$2m=3n+130$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{3n}{2}+65 في المعادلة الأخرى، -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

اضرب -1 في \frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

اجمع -\frac{3n}{2} مع -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

أضف 65 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=-\frac{120}{11}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{120}{11} في m=\frac{3}{2}n+65. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{120}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

اجمع 65 مع -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4n من الطرفين.

$$-m+5-4n=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-m-4n=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4n من الطرفين.

$$-m+5-4n=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-m-4n=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

لجعل 2m و-m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

اطرح -2m-8n=-10 من -2m+3n=-130 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

اجمع -2m مع 2m. حذف الحدين -2m و2m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3n+8n=-130+10$$

اجمع 3n مع 8n.

$$11n=-130+10$$

اجمع -130 مع 10.

$$11n=-120$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{120}{11} في -m-4n=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

اضرب -4 في -\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

اطرح \frac{480}{11} من طرفي المعادلة.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$m=\frac{535}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$