حل {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m-3n=1$$

أضف 3n إلى طرفي المعادلة.

$$2m=3n+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{3n+1}{2} في المعادلة الأخرى، \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

اضرب \frac{5}{3} في \frac{3n+1}{2}.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

اجمع \frac{5n}{2} مع -2n.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

اطرح \frac{5}{6} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$n=\frac{1}{3}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{1}{3} في m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{1}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

لجعل 2m و\frac{5m}{3} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{5}{3} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

تبسيط.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

اطرح \frac{10}{3}m-4n=2 من \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع \frac{10m}{3} مع -\frac{10m}{3}. حذف الحدين \frac{10m}{3} و-\frac{10m}{3}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع -5n مع 4n.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع \frac{5}{3} مع -2.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$n=\frac{1}{3}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{1}{3} في \frac{5}{3}m-2n=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

اضرب -2 في \frac{1}{3}.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

أضف \frac{2}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$