حل {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m+3n=1$$

اطرح 3n من طرفي المعادلة.

$$2m=-3n+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{-3n+1}{2} في المعادلة الأخرى، 7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

اضرب 7 في \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

اجمع -\frac{21n}{2} مع 3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{15}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=-\frac{1}{3}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{1}{3} في m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -\frac{1}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

اطرح 7m+3n=6 من 2m+3n=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

اجمع 3n مع -3n. حذف الحدين 3n و-3n، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2m-7m=1-6$$

اجمع 2m مع -7m.

$$-5m=1-6$$

اجمع 1 مع -6.

$$-5m=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$m=1$$

عوّض عن m بالقيمة 1 في 7m+3n=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة n مباشرةً.

$$7+3n=6$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$3n=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$n=-\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$