حل {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$2m+3n=1$$

اطرح 3n من طرفي المعادلة.

$$2m=-3n+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{-3n+1}{2} في المعادلة الأخرى، \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

اضرب \frac{5}{3} في \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

اجمع -\frac{5n}{2} مع -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

اطرح \frac{5}{6} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=-\frac{1}{27}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{1}{27} في m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -\frac{1}{27} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{1}{18} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{5}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

لجعل 2m و\frac{5m}{3} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{5}{3} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

تبسيط.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

اطرح \frac{10}{3}m-4n=2 من \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع \frac{10m}{3} مع -\frac{10m}{3}. حذف الحدين \frac{10m}{3} و-\frac{10m}{3}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع 5n مع 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

اجمع \frac{5}{3} مع -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{1}{27} في \frac{5}{3}m-2n=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

اضرب -2 في -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

اطرح \frac{2}{27} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$m=\frac{5}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$