حل {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=24$$

$$b=16$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3b من الطرفين.

$$2a-3b=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$2a-3b=0$$

أضف 3b إلى طرفي المعادلة.

$$2a=3b$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

اضرب \frac{1}{2} في 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{3b}{2} في المعادلة الأخرى، 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

اضرب 7 في \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

اجمع \frac{21b}{2} مع 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=16$$

عوّض عن b بالقيمة 16 في a=\frac{3}{2}b. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

اضرب \frac{3}{2} في 16.

$$a=24$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=24,b=16$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3b من الطرفين.

$$2a-3b=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=24,b=16$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3b من الطرفين.

$$2a-3b=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

لجعل 2a و7a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

تبسيط.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

اطرح 14a+4b=400 من 14a-21b=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

اجمع 14a مع -14a. حذف الحدين 14a و-14a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-21b-4b=-400$$

اجمع -21b مع -4b.

$$-25b=-400$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$b=16$$

عوّض عن b بالقيمة 16 في 7a+2b=200. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$7a+2\times 16=200$$

اضرب 2 في 16.

$$7a+32=200$$

اطرح 32 من طرفي المعادلة.

$$7a=168$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$a=24$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=24,b=16$$