حل {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=5$$

$$b=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$2a+3b=4$$

اطرح 3b من طرفي المعادلة.

$$2a=-3b+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{3b}{2}+2 في المعادلة الأخرى، -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

اضرب -2 في -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

اجمع 3b مع 3b.

$$6b-4=-16$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$6b=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$b=-2$$

عوّض عن b بالقيمة -2 في a=-\frac{3}{2}b+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

اضرب -\frac{3}{2} في -2.

$$a=3+2$$

اجمع 2 مع 3.

$$a=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=5,b=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=5,b=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

اطرح -2a+3b=-16 من 2a+3b=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

اجمع 3b مع -3b. حذف الحدين 3b و-3b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2a+2a=4+16$$

اجمع 2a مع 2a.

$$4a=4+16$$

اجمع 4 مع 16.

$$4a=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a=5$$

عوّض عن a بالقيمة 5 في -2a+3b=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$-2\times 5+3b=-16$$

اضرب -2 في 5.

$$-10+3b=-16$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$3b=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$b=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=5,b=-2$$